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2006年广东省普通高校本科插班生招生考试

上传时间: 2019-01-05 15:35:34 来源:用户上传
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导读: 最新试题考后首发,并赠送最详细的答案解析,请广大考生密切关注求学考场公众号,或登录求学考场(http://ks.studyems.com/)免费做题。

  一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的)

  1、函数1)(3+=x x f 在x = 0处

  A. 无定义

  B. 不连续

  C. 可导

  D. 连续但不可导

  2、设函数)(x f 在点x 0处连续,且.4)(0

  lim 0=-→x x x f x x 则)(0x f = A. -4 B. 0 C.

  41 D. 4 3、设函数1(1),0,()11sin ,0,2x a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+<⎩

  若)(lim 0x f x x →存在,则a = A. 23 B. 121-e C. 12

  3-e D. 21 4、设ln()z xy =,则dz = A. dy y dx x 11+ B. dy x dx y 11+ C. xy

  dy dx + D. ydx xdy + 5、积分0x e dx +∞

  -⎰

  A. 收敛且等于-1

  B. 收敛且等于0

  C. 收敛且等于1

  D. 发散

  二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分)

  6、若直线4y =是曲线1

  23-+=x ax y 的水平渐近线,则a = 。 7、由参数方程⎩⎨

  ⎧=+=-t e y t x ,1sin 2所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是 。 8、积分(cos sin )x x x dx ππ-

  +=⎰ 。 9、曲线x e y =及直线x = 0,x = 1和y = 0所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积V = 。

  10、微分方程4450y y y '''-+=的通解是 。

  三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明)

  11、求极限⎭

  ⎬⎫⎩⎨⎧

  -+∞→2ln )12ln(lim n n 。 12、计算不定积分⎰-)

  1(x x dx 。 13、设函数dx

  dy ,x y x 求2)1

  (sin 2-=。 14、函数y = y (x )是由方程22y x e y +=所确定的隐函数,求

  dx dy 在点(1,0)处的值。 15

  、计算定积分10)x dx ⎰

  。

  

高数2005-2016专插本试题及答案


  16、求二重积分⎰⎰D

  d xy σ2,其中积分区域{}

  o x y x y x D ≥≤+=,1),(22。 17、设函数y x x z arctan =,求1

  12==∂∂∂y x x y x 。

  18、求微分方程y y x y ln tan '=满足初始条件e y x ==6

  π的特解。

  四、综合题(本大题共2小题,第19小题14分,第20小题8分,共22分)

  19、已知函数)(x f 是2

  3415205)(x x x x g +-=在),(+∞-∞上的一个原函数,且f (0)=0.

  (1)求)(x f ;

  (2)求)(x f 的单调区间和极值; (3)求极限400sin lim ()x x tdt f x →⎰。

  20、设)(x f ,)(x g 都是),(+∞-∞上的可导函数,且1)0(),()('),()('===f x f x g x g x f ,g =(0)=0。试证:),(,1)()(2

  2+∞-∞∈=-x x g x f 。

  试题答案及评分参考

  一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

  1、D

  2、B

  3、B

  4、A

  5、C

  二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分)

  6、8

  7、x +2y -3=0

  8、4

  9、)1(22-e π

  10、)sin cos (212

  x c x c e y x += 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)

  11、解法一:)211ln(2ln )12(ln(l i m l i m n n n n n n +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞

  →∞→ 21

  ln ])211ln[()211ln(21212lim lim ==+=+

  =∞→∞→e

  n n

  n n n n 解法二:n n n n n n 1

  2ln )12ln(2ln )12(ln(l i m l i m -+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→∞→ 211)'

  (ln 22=====x x x x 解法三:⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞

  →∞→2ln )12ln(2ln )12(ln(l i m l i m x n n x n n x

  x x 1

  2ln )12ln(lim -+=+∞→ 2分

  6分

  3分 2分

  4分 6分 1分 2分

  2

  1121lim

  1)1()12(1lim

  2

  2

  =

  +

  =--

  ⋅+

  =+∞

  →+∞

  →x

  x

  x x

  x x

  (说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)

  12、解法一:

  ⎰

  ⎰-=-x d x

  x x dx 11

  2)1(

  =c x +arcsin 2

  解法二:

  ⎰

  ⎰⎰---=-=-)2

  1

  ()2

  1

  (4111

  )1(22

  x d x dx x

  x x x dx

  =c x +-)12arcsin(

  解法三:设x = t ,则x = 2

  t

  ⎰

  ⎰-=-tdt t

  t x x dx 211

  )1(2

  =⎰

  -dt t

  2

  112

  =c t +arcsin 2

  =c x +arcsin 2

  13、解:)1(1cos 1sin 2)1(sin 22x x x x -⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣

  ⎡ =x x 2

  sin 12-,

  2ln 2)'2(x x = ,

  2ln 22sin 1)'2()1(sin 2)1(sin 2'

  2'2x x x x x x x dx dy --=-⎥⎦⎤⎢⎣

  ⎡

  =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 14、解法一:将方程22y x e y

  +=

  两边对x 求导数得

  2

  2

  2'22'y

  x yy x y e y ++=

  ,

  4分

  5分 6分

  2分

  6分

  2分

  6分 1分

  3分

  5分

  6分

  3分 5分

  6分

  1分 4分

  则x y y x e

  y y

  =-+)('22 y e x

  y y x e x y dx dy y

  y -=-+==∴

  222' 11

  0=∴

  ==x y dx

  dy

  。

  解法二:将方程22y x e y

  +=

  两边取自然对数得

  2

  2

  22'2221')ln(2

  1

  y x yy x y y x y ++⋅=∴+=

  则x y y x y =-+)('22 y

  e x y y x x y dx dy y -=-+==∴

  222' 11

  0=∴

  ==x y dx

  dy

  .

  解法三:设F (x,y )=22y x e y

  +-

  ,

  则,2

  2

  2

  2

  22'y

  x x y x x F x +-

  =+-

  =, 2

  22

  222'y

  x y e y

  x y

  e F y y x +-=+-

  =, y e x

  y y x e x y x e y x x

  F F dx dy y

  y y y x -=-+=+-

  +-

  -=-=∴2222

  222'' 11

  0=∴

  ==x y dx

  dy .

  15、解:[

  ]

  dx x x x x x x dx x x ')1ln()1ln()1ln(1

  2

  10

  1

  2

  2⎰⎰

  ++-++=++

  .

  12)12ln(1)12ln(1)12ln(10

  21

  2

  +-+=+-+=+-+=⎰

  x

  d

  x x

  5分

  6分

  1分 4分

  5分

  6分

  1分

  2分

  3分

  5分

  6分

  2分

  4分 5分 6分

  16、解法一:D={}

  0,1),(2

  2≥≤+x y x y x 如答图1所示

  ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==D

  D

  y dx xy dy dxdy xy d xy 1

  1

  10

  22

  22

  σ .15

  25131)53(21)1(21)21

  (1

  111532

  21

  1

  10

  2

  22=-=

  -=-==⎰⎰----y y dy y y dy

  y x y 解法二:D={}

  0,1),(2

  2≥≤+x y x y x 如答图1所示

  ⎰⎰⎰⎰-

  =D

  d d d xy 2

  21

  42cos π

  π

  γθγθσ

  .15

  2sin 3

  1

  51sin cos 51sin cos 5

  1

  22

  32

  2

  22

  2

  42

  105=⋅===-

  -

  -⎰⎰π

  π

  π

  ππ

  π

  θ

  θθθγθθθγd d (说明:本题不画图,不扣分)

  17、解:)()(1122y x y

  x x y z -+=∂∂

  =2

  22

  y

  x x +-, .2

  1

  42)(2)(2)(21

  12

  222

  2222222-=-=

  ∂∂∂∴+-=+⋅++-=∂∂∂∴==y x x

  y z y x xy y x x x y x x x y z

  18、解: 原方程可变形为:

  xdx y

  y dy

  cot ln =,

  1分

  3分

  4分

  5分 6分

  1分

  3分

  4分

  5分 6分

  2分

  3分

  5分

  6分

  2分

  ⎰

  ⎰

  +=⇒=∴

  1sin ln ln ln cot ln c x y xdx y y dy

  (说明:没写蕝对值不扣分) 化简得:x c e y sin = 将初始条件代入得:22

  1=⇒=c e

  e c

  故所求的特解为x e y sin 2=.

  四、综合题(本大题共2小题,第19小题14分,第20小题8分,共22分) 19、解:(1),15205)()('2

  3

  4

  x x x x g x f +-==

  .

  55)(,00)0(.55)15205()(3

  4

  5

  345234x x x x f c f c x x x dx x x x x f +-=∴=⇒=++-=+-=∴⎰

  (2))1)(3(15205)()('2

  3

  4

  --+-==x x x x x x g x f ,

  令0)('=x f ,解得x =0,x =1,x =3. 列函数性态表如下

  (说明:不列表,分别讨论单调性不扣分)

  故f (x )在区间(1,∞-)及(3,∞+)单调上升,在区间(1,3)单调下降;

  f (x )的极大值f (1)=1,极小值f (3)=-27。

  (3)解法一:)

  ('sin lim

  )

  (sin

  lim

  400

  4

  x f x

  x f tdt

  x x

  x →→=⎰ .

  015205sin lim 15205sin lim 22

  4402

  34

  40=+-⋅=+-=→→x x x x x x x x x

  x x

  4分

  5分

  6分

  1分 3分

  4分

  5分

  8分

  9分

  11分

  12分

  14分

  解法二:)

  ('sin lim )(sin lim 400

  40x f x x f tdt

  x x

  x →→=⎰ .

  015205lim 15205sin lim 22

  02

  3440=+-=+-=→→x x x x x x x

  x x

  20、证明:设)()()(22x g x f x F -=,

  则)(')(2)(')(2)('x g x g x f x f x F -=。 .0)()(2)()(2)(')

  ()('),()('=-=∴==x f x g x g x f x F x f x g x g x f 故)()()(22x g x f x F -==c ,c 为常数。 又,0)0(,1)0(==g f

  ),(,1)()(122+∞-∞∈=-⇒=∴x x g x f c 。

  14分 1分 3分 5分 6分 8分 11分 12分 14分


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